Synchrony and bifurcations in coupled dynamical systems and effects of time delay

Dynamik auf Netzwerken ist ein mathematisches Feld, das in den letzten Jahrzehnten schnell gewachsen ist und Anwendungen in zahlreichen Disziplinen wie z.B. Physik, Biologie und Soziologie findet. Die Funktion vieler Netzwerke hängt von der Fähigkeit ab, die Elemente des Netzwerkes zu synchronisieren. Mit anderen Worten, die Existenz und die transversale Stabilität der synchronen Mannigfaltigkeit sind zentrale Eigenschaften. Erst seit einigen Jahren wird versucht, den verwickelten Zusammenhang zwischen der Kopplungsstruktur und den Stabilitätseigenschaften synchroner Zustände zu verstehen. Genau das ist das zentrale Thema dieser Arbeit. Zunächst präsentiere ich erste Ergebnisse zur Klassifizierung der Kanten eines gerichteten Netzwerks bezüglich ihrer Bedeutung für die Stabilität des synchronen Zustands. Folgend untersuche ich ein komplexes Verzweigungsszenario in einem gerichteten Ring von Stuart-Landau Oszillatoren und zeige, dass das Szenario persistent ist, wenn dem Netzwerk eine schwach gewichtete Kante hinzugefügt wird. Daraufhin untersuche ich synchrone Zustände in Ringen von Phasenoszillatoren die mit Zeitverzögerung gekoppelt sind. Ich bespreche die Koexistenz synchroner Lösungen und analysiere deren Stabilität und Verzweigungen. Weiter zeige ich, dass eine Zeitverschiebung genutzt werden kann, um Muster im Ring zu speichern und wiederzuerkennen. Diese Zeitverschiebung untersuche ich daraufhin für beliebige Kopplungsstrukturen. Ich zeige, dass invariante Mannigfaltigkeiten des Flusses sowie ihre Stabilität unter der Zeitverschiebung erhalten bleiben. Darüber hinaus bestimme ich die minimale Anzahl von Zeitverzögerungen, die gebraucht werden, um das System äquivalent zu beschreiben. Schließlich untersuche ich das auffällige Phänomen eines nichtstetigen Übergangs zu Synchronizität in Klassen großer Zufallsnetzwerke indem ich einen kürzlich eingeführten Zugang zur Beschreibung großer Zufallsnetzwerke auf den Fall zeitverzögerter Kopplungen verallgemeinere.Since a couple of decades, dynamics on networks is a rapidly growing branch of mathematics with applications in various disciplines such as physics, biology or sociology. The functioning of many networks heavily relies on the ability to synchronize the network’s nodes. More precisely, the existence and the transverse stability of the synchronous manifold are essential properties. It was only in the last few years that people tried to understand the entangled relation between the coupling structure of a network, given by a (di-)graph, and the stability properties of synchronous states. This is the central theme of this dissertation. I first present results towards a classification of the links in a directed, diffusive network according to their impact on the stability of synchronization. Then I investigate a complex bifurcation scenario observed in a directed ring of Stuart-Landau oscillators. I show that under the addition of a single weak link, this scenario is persistent. Subsequently, I investigate synchronous patterns in a directed ring of phase oscillators coupled with time delay. I discuss the coexistence of multiple of synchronous solutions and investigate their stability and bifurcations. I apply these results by showing that a certain time-shift transformation can be used in order to employ the ring as a pattern recognition device. Next, I investigate the same time-shift transformation for arbitrary coupling structures in a very general setting. I show that invariant manifolds of the flow together with their stability properties are conserved under the time-shift transformation. Furthermore, I determine the minimal number of delays needed to equivalently describe the system’s dynamics. Finally, I investigate a peculiar phenomenon of non-continuous transition to synchrony observed in certain classes of large random networks, generalizing a recently introduced approach for the description of large random networks to the case of delayed couplings

Classification of coupled dynamical systems with multiple delays: Finding the minimal number of delays

In this article we study networks of coupled dynamical systems with time-delayed connections. If two such networks hold different delays on the connections it is in general possible that they exhibit different dynamical behavior as well. We prove that for particular sets of delays this is not the case. To this aim we introduce a componentwise timeshift transformation (CTT) which allows to classify systems which possess equivalent dynamics, though possibly different sets of connection delays. In particular, we show for a large class of semiflows (including the case of delay differential equations) that the stability of attractors is invariant under this transformation. Moreover we show that each equivalence class which is mediated by the CTT possesses a representative system in which the number of different delays is not larger than the cycle space dimension of the underlying graph. We conclude that the 'true' dimension of the corresponding parameter space of delays is in general smaller than it appears at first glance